A. 中國古代數學有多牛，僅留下的書籍就將近1500萬字，中國古代有哪些數學成就
中國數學起源於上古至西漢末期，中國數學的全盛時期是隋中葉至元後期。接下來在元後期至清中期，中國數學的發展緩慢。
十七個成就
縱觀中國數學發展史，中國古代在數學方面的成就其實也算足以開一座陳列館，這里就我認為最矚目的17個成就列舉如下：
(1)十進位制記數法和零的採用。
十進位制記數法在我國原始社會就已經形成，完成於奴隸社會初期的商代，到商代已發展為完整的十進制系統，並且有了「十」、「百」、「千」、「萬」等專用的大數名稱。1899年從河南安陽發掘出來的象形文字，說明我國在公元前1600年，已經採用了十進位值制記數法，早於第二發明者印度1000多年。0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。
「0」這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點(·)表示零，後來逐漸變成了「0」。
0在我國古代叫做金元數字，(意即極為珍貴的數字)，說起「0」的出現，應該指出，我國古代文字中，「零」字出現很早，使用也較廣泛。
(2)二進位制思想起源。源於《周易》中的八卦法，早於第二發明者德國數學家萊布尼茲(公元1646—1716)2000多年。
著名的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)發明了對現代計算機系統有著重要意義的二進制，不過他認為在此之前，中國的《易經》中已經提到了有關二進制的初步思想。從《易經》可以看到二進制的起源，中國古代的二進制運用與現代電子計算機中的運用相同。我國上古的伏羲時代就有了《周易》，《周易》是研究日月之間的變化的一門科學，通過卦爻來說明天地之間、日月系統以內人生與事物變化的大法則，就藉助了二進制手段。
(3)幾何思想起源。源於戰國時期墨翟的《墨經》，早於第二發明者歐幾里德(公元前330—前275)100多年。
著名的《墨經》中給出了某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「 平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。
《墨經》中有8條論述了幾何光學知識，它闡述了影、小孔成像、平面鏡、凹面鏡、凸面鏡成像，還說明了焦距和物體成像的關系，這些比古希臘歐幾里德(約公元前330—275)的光學記載早百餘年。在力學方面的論說也是古代力學的代表作。對力的定義、杠桿、滑輪、輪軸、斜面及物體沉浮、平衡和重心都有論述。而且這些論述大都來自實踐。《墨經》光學八條，反映了春秋戰國時期我國物理學的重大成就。
(4)勾股定理(商高定理)。發明者商高(西周人)，早於第二發明者畢達哥拉斯(公元前580—前500)550多年。
勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。西方稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理(英文：Pythagorean
theorem或Pythagoras's
theorem)是一個基本的幾何定理，相傳由古希臘的畢達哥拉斯首先證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在中國，在公元前1000多年前，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又稱之為商高定理;三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。目前初中數學教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。
趙爽弦圖
青朱出入圖
勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。
(5)幻方。我國最早記載幻方法的是春秋時代的《論語》和《書經》，而在國外，幻方的出現在公元2世紀，我國早於國外600多年。
幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，它最早起源於我國，宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖。幻方的幻在於：無論取哪一條路線，最後得到的和或積都是完全相同的，即在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對角線的幾個數之和或積都相等，具有這種性質的圖表，稱為「幻方」。我國古代稱為「河圖」、「洛書」，
中國漢朝的數術記遺中，稱之為九宮算，又叫九宮圖。又叫「縱橫圖」。
在中國古典文獻《易經》中記載了洛書的傳說：公元前23世紀大禹治水之時，一隻巨大的神龜出現於黃河支流洛水中，龜甲上有9種花點的圖案，分別代表1,2,3,4,5,，6,7,8,9這9個數，而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15，世人稱之為洛書。
南宋數學家楊輝著《續古摘奇演算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：
「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar
Bachet提出的方法早三百餘年。
三階幻方。射鵰英雄傳里黃蓉也背過這段三階幻方的口訣。
幻方最早記載於我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。
我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3-10階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳演算法》一書中。在歐洲，直到1514年，德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方。
(6)分數運演算法則和小數。中國完整的分數運演算法則出現在《九章算術》中，它的傳本至遲在公元1世紀已經出現。印度在公元7世紀才出現了同樣的法則，並被認為是此法的「鼻祖」。我國早於印度500多年。
中國運用最小公倍數的時間則早於西方1200年。運用小數的時間，早於西方1100多年。
(7)負數的發現。這個發現最早見於《九章算術》，這一發現早於印度600多年，早於西方1600多年。
據史料記載，早在兩千多年前,我國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運演算法則。我國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：「今兩算得失相反，要令正負以名之。」意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。劉徽第一次給出了區分正負數的方法。他說：「正算赤，負算黑;否則以邪正為異」。
我國古代著名的數學專著《九章算術》(成書於公元一世紀)中，最早提出了正負數加減法的法則：「正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之;其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」
除《九章算術》定義有關正負運算方法外，東漢末年劉烘(公元206年)、宋代揚輝(1261年)也論及了正負數加減法則，都與九章算術所說的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世傑除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外，還給出了關於正負數的乘除法則。負數在國外得到認識和被承認，較之中國要晚得多。在印度，數學家婆羅摩笈多於公元628年才認識負數。直到十七世紀荷蘭人日拉爾(1629年)才首先認識和使用負數解決幾何問題。
(8)盈不足術。又名雙假位法。最早見於《九章算術》中的第七章。在世界上，直到13世紀，才在歐洲出現了同樣的方法，比中國晚了1200多年。
盈不足術是我國古代計算盈虧類問題的一種算術方法，借有餘、不足以求隱含之數，為《周禮》九數之一。《九章算術·盈不足》：「今有共買物，人出八，盈三;人出七，不足四。問：人數、物價各幾何?答曰：七人，物價五十三。」。在11—13世紀一些阿拉伯數學家的著作中，也出現了盈不足術，並稱之為天秤術或契丹演算法。當時阿拉伯人所說的「契丹」,即指中國，這也說明古代中國的盈不足術處於世界前沿。
(9)方程術。與現今不同，線性方程組在古代稱為方程，其解法稱為方程術。最早出現於《九章算術》中，其中解聯立一次方程組的方法，早於印度600多年，早於歐洲1500多年。在用矩陣排列法解線性方程組方面，我國要比世界其他國家早1800多年。
(10)最精確的圓周率「祖率」。中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時(公元263年)只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，得出精確到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術，其中有求極限的思想。南北朝時代的數學家祖沖之利用割圓術進一步得出精確到小數點後7位的π值(公元466年)，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值，歐洲直到十六世紀德國人鄂圖(valentinus
otto)和荷蘭人安托尼茲(a.anthonisz)才得出同樣結果;這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。
(11)等積原理。又名「祖暅」原理。保持世界紀錄1100多年。
等積原理是由我國南北朝傑出的數學家祖沖之的兒子祖暅(數學家、天文學家)首先提出來的。他同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的「祖暅原理」，在公元五世紀，是祖暅對世界數學的傑出貢獻。祖暅總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即「等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等」，這就是著名的祖暅公理(或劉祖原理)。祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀才由義大利數學家卡瓦列利﹝Bonavent
uraCavalieri﹞發現，比祖暅晚一千一百多年。
(12)二次內插法。隋朝天文學家劉焯最早發明，早於「世界亞軍」牛頓(公元1642—1727)1000多年。
我國古代早就發明了內插法(內插法是用一組已知的未知函數的自變數的值和與它對應的函數值來求一種未知函數其它值的近似計算方法，是一種數值逼近求法，天文學上和農歷計算中經常用的是白塞爾內插法。內插法當時稱為招差術，如公元前1世紀左右的《九章算術)中的「盈不足術」即相當於一次差內插(線性內插);公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式(拋物線內插);這在數學史上是一項傑出的創造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式;元朝作《授時歷》的郭守敬進一步發明了三次差內插法。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。
(13)增乘開方法。增乘開方法為中國古代數學中求高次方程數值解的一般方法，在現代數學中又名「霍納法」。
我國宋代數學家賈憲最早發明於11世紀，比19世紀英國數學家霍納提出的時間早800年左右。它由11世紀的賈憲首創，中經12世紀的劉益，到13世紀秦九韶最後完成，19歐洲出現的霍納法的步驟以及現代數學中綜合除法的原理與它相同。該方法由《九章算術》的開方術衍生而來，經過賈憲、劉益、楊輝等人的推廣和傳播，到13世紀被發展成為求高次方程數值解的系統方法，秦九韶、李冶、朱世傑的著作中都有記載，其中以秦九韶的《數書九章》論述最為詳細。霍納在1819年發表的《解所有次方程》論文中的算例，其演算法程序和數字處理都遠不及五百多年前的秦九韶有條理;秦九韶演算法不僅在時間上早於霍納，也比較成熟。增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來，現存英國劍橋大學圖書館。
(14)楊輝三角。楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，實際上是一個二項展開式系數表。它本是賈憲創造的，見於他著作《黃帝九章演算法細草》中，後此書流失，南宋人楊輝在他的《詳解九章演算法》中又編此表，故名「楊輝三角」。
楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。楊輝三角形所蘊含的數字排列規律，讓我們在感受數學美的同時，也體會到它的趣味性和實用性。
在世界上除了中國的賈憲、楊輝，第二個發明者是法國的數學家帕斯卡(公元1623—1662)，他的發明時間是年，比賈憲晚了近600年。
(15)中國剩餘定理。又稱孫子定理，是中國古代求解一次同餘式組的方法。中國剩餘定理，實際上就是解聯立一次同餘式的方法。這個方法最早見於《孫子算經》，1801年德國數學家高斯(公元1777—1855)在《算術探究》中提出這一解法，西方人以為這個方法是世界第一，稱之為「高斯定理」，但後來發現，它比中國晚1500多年，因此為其正名為「中國剩餘定理」，
它是數論中一個重要定理。
(16)數字高次方程方法，又名「天元術」。 中國古代求解高次方程的方法。13世紀，高次方程的數值解法是數學難題之一。
天元術是中國古代的代數學方法之一種，是中國古代建立高次方程的方法。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》中，系統地介紹了用天元術建立二次方程，並巧妙地把它表達在籌算中。元代數學家王恂廣泛使用天元術解高次方程。這個方法早於世界其他國家300年以上，為以後出現的多元高次方程解法打下很好的基礎。
(17)招差術。招差術即高次內插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法，也就是高階等差級數求和方法。從北宋起中國就有不少數學家研究這個問題，到了元代，朱世傑首先發明了招差術，使這一問題得以解決。在世界上，比朱世傑晚近400年之後，牛頓才獲得了同樣的公式。中國古代關於高階等差數列和的差分能否相分於求內插公式的方法。朱世傑的《四元玉鑒》(1303)卷中「如像招數」中的問題都是討論招差問題的。
其中朱世傑給出了一個四次招差公式：
這與牛頓插值公式一致，但牛頓提出這一公式晚於朱世傑三百多年。
招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
總的來說，中國古代的數學發展缺乏公理化體系。而這恰恰是從初等數學到高等數學發展的瓶頸。中國數學從一開始就沒有向公理化發展的傾向，更多的是對某類具體問題的解法或者對某類規律的歸納。而西方數學家的代表人物歐幾里得所做的最重要的工作可以說就是幾何學的公理化。《幾何原本》就是以數個不證自明的公理為基礎的公理化體系的著作。這種方式建立的所謂數學的和諧之美、簡潔之美。這位古希臘數學家對整個歐洲科學都影響深遠。牛頓最重要的著作《自然哲學的數學原理》就是沿用的這種公理化體系的過程。對現象的描述，再把這類有規律的現象整理為最基本的數個公理、定律，再運用這些定律解釋更復雜的現象。其最更根本的便是萬有引力定律，以及三大運動定律。以當時的水平來講，這樣就足以「預言萬物的運動」了。
另外，中國古代數學水平的落後是和整個科技水平的落後也是聯系在一起的，兩者是共進共退的。中國古代科技水平的衰落那就是另一個大問題了。
參考文獻：
1.《探究勾股定理》同濟大學出版社
2.《 神奇的縱橫圖》 王前衛
3.《九章算術》張蒼 耿壽昌
4.《楊輝三角與棋盤形街道走法》 琚國起有